Calculateur Binaire - Addition, soustraction, multiplication et division

Comment utiliser la calculatrice

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Réponse

101110110

Réponse
Binaire à décimal 10101010 = 170
Décimal en binaire 170 = 10101010

Introduction à la calculatrice binaire

Une calculatrice binaire est un outil en ligne qui vous permet de convertir instantanément des nombres en code binaire. Le code binaire est un système de représentation numérique qui utilise seulement deux symboles : 0 et 1.

Le code binaire est un système de représentation numérique qui utilise seulement deux symboles : 0 et 1. Le code binaire est la base de l'informatique, car c'est la manière dont les ordinateurs stockent et traitent les données. C'est un outil essentiel pour les programmeurs et les passionnés d'informatique, car il facilite l'exécution d'opérations arithmétiques avec des nombres binaires, ainsi que la conversion entre binaire et décimal, qui est le système numérique le plus utilisé par les humains.

Dans cet article, vous découvrirez l'histoire du calcul binaire, le fonctionnement du système de nombres binaires, comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres binaires, comment convertir du binaire en décimal et vice versa, quelles sont les limites du binaire. calculatrice, comment la calculatrice binaire est utilisée dans la programmation et le codage, et quelles sont les applications réelles de la calculatrice binaire.

Bref historique de l'informatique binaire

Le concept consistant à utiliser seulement deux symboles pour représenter des nombres n’est pas nouveau. En fait, cela remonte à l’Antiquité, lorsque les mathématiciens indiens et chinois utilisaient déjà des systèmes binaires pour effectuer des calculs. Cependant, ce n’est qu’au XVIIe siècle que le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz développa le premier système binaire moderne, basé sur la logique booléenne. Leibniz croyait que le binaire était le système idéal pour exprimer la nature divine, car il représentait la dualité entre rien (0) et tout (1).

Au XIXe siècle, le mathématicien et ingénieur britannique George Boole a amélioré le système binaire de Leibniz, créant ainsi l'algèbre booléenne, qui constitue le fondement de la logique informatique. Boole a montré qu'il était possible d'utiliser des opérations logiques (telles que AND, OR et NOT) pour manipuler des valeurs binaires et résoudre des problèmes mathématiques complexes.

Au XXe siècle, le mathématicien et informaticien américain Claude Shannon a appliqué l'algèbre booléenne à la théorie de l'information, démontrant qu'il était possible d'utiliser des circuits électriques pour mettre en œuvre des opérations logiques avec les bits, qui sont les unités de base de l'information binaire. Shannon a également prouvé que n'importe quelle fonction logique pouvait être construite à partir d'une combinaison de portes NAND, qui sont des dispositifs produisant un résultat binaire à partir de deux entrées binaires.

Dès lors, apparaissent les premiers ordinateurs numériques, qui utilisent des relais, des vannes, des transistors et des circuits intégrés pour effectuer des calculs binaires à grande vitesse. Aujourd'hui, les ordinateurs modernes utilisent des microprocesseurs, qui sont des puces contenant des millions de transistors qui effectuent des opérations binaires en nanosecondes.

Comprendre le système de nombres binaires

Le système de nombres binaires est un système positionnel, c'est-à-dire que la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans la séquence. Par exemple, le nombre binaire 1011 comporte quatre chiffres, chacun occupant une position différente. Le chiffre le plus à droite est appelé bit le moins significatif (LSB) et le chiffre le plus à gauche est appelé bit le plus significatif (MSB). Chaque position est associée à un poids, qui est une puissance de deux. Le poids de la position LSB est 2^0, le poids de la position suivante est 2^1, et ainsi de suite. Le poids de position du MSB est 2^n-1, où n est le nombre de chiffres du nombre binaire.

Pour convertir un nombre binaire en décimal, multipliez simplement chaque chiffre par son poids et additionnez les résultats. Par exemple, le nombre binaire 1011 peut être converti en décimal comme suit : 1011 = (1 x 2^3) + (0 x 2^2) + (1 x 2^1) + (1 x 2^0)

1011 = (1 x 8) + (0 x 4) + (1 x 2) + (1 x 1)

1011 = 8 + 0 + 2 + 1

1011 = 11

Par conséquent, le nombre binaire 1011 est équivalent au nombre décimal 11.

Pour convertir un nombre décimal en binaire, divisez simplement le nombre décimal par deux à plusieurs reprises jusqu'à obtenir un quotient égal à zéro. Le reste de chaque division forme le nombre binaire, commençant par LSB et se terminant par MSB. Par exemple, le nombre décimal 11 peut être converti en binaire comme suit :
11 / 2 = 5, reste 1

5 / 2 = 2, reste 1

2 / 2 = 1, reste 0

1 / 2 = 0, reste 1

Le nombre binaire est donc 1011, formé par les restes des divisions, dans l’ordre inverse.

Comment ajouter des nombres binaires

Les numéros 0 et 1 répartis sur l'image. Au centre, les symboles des opérations de base : addition, soustraction, multiplication et division.

La somme de nombres binaires est une opération arithmétique qui consiste à additionner deux ou plusieurs nombres binaires, et à obtenir le résultat en binaire. La somme des nombres binaires suit quelques règles simples, qui sont :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (avec un va un)

Pour ajouter des nombres binaires, vous devez aligner les nombres sur le bit le moins significatif (le bit le plus à droite) et ajouter les bits correspondants dans chaque colonne, de droite à gauche. Si la somme des bits est supérieure à 1, vous devez placer le bit de poids faible du résultat dans la colonne courante, et amener le bit de poids fort dans la colonne suivante à gauche. Ce processus est appelé go one et indique qu'il y a un excès de 1 dans la somme des bits. Vous devez répéter ce processus jusqu'à ce que vous additionniez tous les bits des nombres binaires. Le résultat final est la séquence de bits obtenue dans chaque colonne, de gauche à droite.

Par exemple, additionnons les nombres binaires 101 et 110 :

101
+110
_________
1011

Dans ce cas, nous commençons par la colonne la plus à droite et ajoutons les bits 1 et 0, ce qui équivaut à 1. Nous mettons ce bit dans la colonne actuelle, et il n'y a pas de suite. On ajoute ensuite les bits 0 et 1 de la colonne du milieu, ce qui donne également 1. On met ce bit dans la colonne courante, et il n'y en a pas non plus. Enfin, nous ajoutons les bits 1 et 1 de la colonne la plus à gauche, ce qui donne 10. Nous plaçons le bit 0 dans la colonne actuelle et transférons le bit 1 dans la colonne suivante à gauche, qui est une nouvelle colonne. Le résultat final est la séquence de bits 1011, qui représente le nombre décimal 11.

Comment soustraire des nombres binaires

La soustraction de nombres binaires est une opération arithmétique qui consiste à soustraire un nombre binaire à un autre, et à obtenir le résultat en binaire. La soustraction de nombres binaires suit quelques règles simples, qui sont :

0 - 0 = 0
0 - 1 = 1
(avec on demande à on) 1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

Pour soustraire des nombres binaires, vous devez aligner les nombres sur le bit le moins significatif et soustraire les bits correspondants de chaque colonne, de droite à gauche. Si le bit de fin (le nombre soustrait) est plus petit que le bit de soustraction (le nombre que vous soustrayez), vous devez emprunter un bit à la colonne suivante à gauche et ajouter ce bit au bit de fin. Ce processus s'appelle demander un et indique qu'il manque 1 dans la soustraction des bits. Vous devez répéter ce processus jusqu'à ce que vous ayez soustrait tous les bits des nombres binaires. Le résultat final est la séquence de bits obtenue dans chaque colonne, de gauche à droite.

Par exemple, soustrayons les nombres binaires 1010 et 100 :

1010
-100
_________
0110

Dans ce cas, nous commençons par la colonne la plus à droite et soustrayons les bits 0 et 0, ce qui donne 0. Nous mettons ce bit dans la colonne actuelle et il n'y a pas de demande. Nous soustrayons ensuite les bits 1 et 0 de la colonne du milieu, ce qui donne également 1. Nous plaçons ce bit dans la colonne courante, et il n'y en a pas non plus. Enfin, nous soustrayons les bits 0 et 1 de la colonne la plus à gauche, ce qui donne -1. Puisque le bit de fin de minute est plus petit que le bit de fin de sous-trahend, nous empruntons un peu à la colonne suivante à gauche et ajoutons ce bit au bit de fin de minute. Ainsi, nous avons 10 - 1, ce qui donne 1. Nous plaçons ce bit dans la colonne courante, et renvoyons le bit emprunté dans la colonne suivante à gauche, qui vaut 0. Le résultat final est la séquence de bits 0110, qui représente le nombre décimal 6.


Comment multiplier des nombres binaires

La multiplication de nombres binaires est une opération arithmétique qui consiste à multiplier deux nombres binaires, et à obtenir le résultat en binaire. La multiplication de nombres binaires suit quelques règles simples, qui sont :

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

Pour effectuer une multiplication de nombres binaires, vous devez multiplier chaque bit du multiplicande (le nombre étant multiplié) par le bit de poids faible du multiplicateur (le nombre étant multiplié), et obtenir un produit partiel. Ensuite, vous devez décaler le produit partiel d'une position vers la gauche et multiplier chaque bit du multiplicande par le bit suivant du multiplicateur, pour obtenir un autre produit partiel. Vous devez répéter ce processus jusqu'à ce que vous multipliiez tous les bits du multiplicateur et obteniez plusieurs produits partiels. Enfin, il faut additionner tous les produits partiels, en les alignant par le bit le moins significatif, et obtenir le produit final.

Par exemple, multiplions les nombres binaires 101 et 11 :

101
x11
_________
101
+101
_________
1111

Dans ce cas, on commence par multiplier chaque bit du multiplicande 101 par le bit de poids faible du multiplicateur 1, et on obtient le produit partiel 101. Ensuite, on décale le produit partiel d'une position vers la gauche, et on multiplie chaque bit du multiplicande 101 par le bit suivant du multiplicateur 1, et on obtient le produit partiel 1010. Comme il n'y a plus de bits dans le multiplicateur, on additionne les deux produits partiels en les alignant par le bit de poids faible, et on obtient le produit final 1111, qui représente le nombre décimal 15.

Comment diviser des nombres binaires

La division de nombres binaires est une opération arithmétique qui consiste à diviser un nombre binaire par un autre, et à obtenir le résultat en binaire. La division des nombres binaires suit quelques règles simples, qui sont :

0 / 0 = indéterminé
0 / 1 = 0
1 / 0 = impossible
1 / 1 = 1

Pour effectuer une division de nombres binaires, vous devez diviser le dividende (le nombre étant divisé) par le diviseur (le nombre étant divisé), et obtenir le quotient (le résultat de la division) et le reste (ce qui reste de la division). . La division de nombres binaires peut être effectuée par la méthode clé, qui est similaire à la méthode utilisée pour la division décimale. La méthode clé consiste à :

  1. Écrivez le dividende et le diviseur, séparés par une barre de séparation, qui forme la clé.
  2. Comparez le nombre de bits du dividende et du diviseur et voyez si le dividende est supérieur ou égal au diviseur. Si tel est le cas, mettez 1 dans le quotient et soustrayez le diviseur du dividende pour obtenir un nouveau dividende. Sinon, mettez un 0 dans le quotient, et gardez le même dividende.
  3. Décalez la partie suivante du dividende vers la droite et ajoutez-la au dividende actuel pour former un nouveau dividende.
  4. Répétez les étapes précédentes jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de bits dans le dividende ou jusqu'à ce que le dividende soit plus petit que le diviseur.
  5. Le quotient final est la séquence de bits obtenue à chaque étape, de gauche à droite. Le reste final est le dernier dividende obtenu, qui est inférieur au diviseur.

Par exemple, divisons les nombres binaires 1100 et 10 :

Dividende  Diviseur  Quotient  Reste 
100101 11 0 100101
10010 11 01 1
110 11 011 0

Dans l’exemple précédent, le dividende initial était de 100 101 et le diviseur était de 11.

  1. Dans la première étape, le dividende était supérieur au diviseur, nous avons donc mis 1 dans le quotient et soustrait le diviseur du dividende, obtenant ainsi le nouveau dividende 10010.
  2. Dans la deuxième étape, nous décalons le bit suivant du dividende initial vers la droite et l'ajoutons au dividende actuel, formant ainsi le nouveau dividende 10010. Le dividende était supérieur au diviseur, nous mettons donc un autre 1 dans le quotient, et nous soustrayons le diviseur du dividende, obtenant le nouveau dividende 1.
  3. Dans la troisième étape, nous décalons le bit suivant du dividende initial vers la droite et l'ajoutons au dividende actuel, formant ainsi le nouveau dividende 110. Le dividende était supérieur au diviseur, nous avons donc mis un autre 1 dans le quotient, et nous avons soustrait le diviseur du dividende, obtenant le nouveau dividende 0. Comme il n'y avait plus de bits dans le dividende initial et que le dividende actuel était plus petit que le diviseur, nous avons terminé le processus. Le quotient final était 011 et le reste final était 0.

Conversion de binaire en décimal

La conversion binaire en décimal est une opération qui consiste à transformer un nombre binaire en nombre décimal, en utilisant la base 10. La conversion binaire en décimal est très simple, et suit la formule suivante :

D=bn1×2n1+bn2×2n2+...+b1×21+b0×20D = b_{n-1} \times 2^{n-1} + b_{n-2} \times 2^{n-2} + ... + b_{1} \times 2^{1} + b_{0} \times 2^{0}

Où :

  • D est le nombre décimal équivalent au nombre binaire.
  • b est le bit du nombre binaire, qui peut être 0 ou 1.
  • n est le nombre de bits dans le nombre binaire.

Pour convertir un binaire en décimal, vous devez multiplier chaque bit du nombre binaire par une puissance de 2, en commençant par le bit le moins significatif (le bit le plus à droite), qui est multiplié par 2 élevé jusqu'à 0. Ensuite, il faut additionner tous les produits obtenus, et obtenir le nombre décimal correspondant.

Par exemple, convertissons le nombre binaire 1011 en décimal :

D=1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
D=8 + 0 + 2 + 1
D=11

Dans ce cas, on multiplie chaque bit du nombre binaire par une puissance de 2, en commençant par le bit de poids faible, qui est multiplié par 2 élevé à 0. Ensuite, on additionne tous les produits obtenus, et on obtient le nombre décimal 11. , ce qui équivaut au nombre binaire 1011.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la façon de convertir du binaire en décimal, cliquez ici pour voir d'autres articles sur le sujet.

Conversion de décimal en binaire

La conversion de décimal en binaire est une opération qui consiste à transformer un nombre décimal en nombre binaire. , en base 2. La conversion de décimal en binaire est un peu plus complexe, mais peut être effectuée en utilisant la méthode de division successive, qui consiste à :

  1. Divisez le nombre décimal par le nombre 2 et obtenez un quotient et un reste.
  2. Notez le reste, qui peut être 0 ou 1, et qui constitue le bit le moins significatif du nombre binaire.
  3. Divisez le quotient par le nombre 2 et obtenez un nouveau quotient et un nouveau reste.
  4. Écrivez le nouveau reste, qui forme le bit suivant du nombre binaire.
  5. Répétez les étapes précédentes jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0 et qu'il n'y ait plus de divisions possibles.
  6. Le nombre binaire final est la séquence de restes obtenus dans chaque division, de droite à gauche.

Par exemple, convertissons le nombre décimal 13 en binaire :

13 / 2 = 6, reste 1

6 / 2 = 3, reste 0

3 / 2 = 1, reste 1

1 / 2 = 0, reste 1

Dans ce cas, on divise le nombre décimal 13 par le nombre 2, et on obtient un quotient 6 et un reste 1. On note le reste, qui forme le bit le moins significatif du nombre binaire. Ensuite, nous divisons le quotient 6 par le nombre 2, et nous obtenons un nouveau quotient 3 et un nouveau reste 0. Nous notons le nouveau reste, qui forme le bit suivant du nombre binaire. On répète ce processus jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0, et on obtient plusieurs restes. Le nombre binaire final est la suite des restes obtenus dans chaque division, de droite à gauche, soit 1101, ce qui équivaut au nombre décimal 13.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la façon de convertir un décimal en binaire, cliquez ici pour voir d'autres articles sur le sujet.

Conclusion

Dans cet article, vous avez appris ce qu'est le système binaire, ce qu'est la calculatrice binaire et comment effectuer des opérations arithmétiques et des conversions avec des nombres binaires. Nous espérons que cet article vous a été informatif, éducatif et amusant, et que vous avez aimé découvrir la calculatrice binaire.

La calculatrice binaire est un outil qui vous permet d'explorer le monde de l'informatique et de la technologie, et révèle les secrets et les merveilles des nombres binaires. La calculatrice binaire est un outil qui facilite la communication et la compréhension entre les humains et les ordinateurs, et qui ouvre la porte à la programmation et au codage. La calculatrice binaire est un outil qui peut être utilisé à des fins diverses, du plus simple au plus complexe, du plus ludique au plus sérieux, du plus personnel au plus professionnel.

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